题目内容
【题目】已知抛物线l1:y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B(点A在点B左边),与y轴交于点C,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(4,0),与y轴交于点D(0,﹣2).
(1)求抛物线l2的解析式;
(2)点P为线段AB上一动点(不与A、B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M,交抛物线l2于点N.
①当四边形AMBN的面积最大时,求点P的坐标;
②当CM=DN≠0时,求点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2(2)①(,0)②(1,0),或(,0)
【解析】试题分析:(1)、首先根据二次函数的解析式得出点A和点B的坐标,然后将所求的二次函数设成交点式,将点D的坐标代入求出函数解析式;(2)、首先根据题意求出AB的长度,设点P的坐标为(x,0),根据题意得出M和N的点坐标,根据四边形的面积=AB·MN得出函数解析式,然后根据二次函数的性质得出最大值;(3)、作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM与DN不平行,得出四边形CDNM为等腰梯形,根据题意得出△CGM和△DNH全等,设点P的坐标为(x,0),得出点M、N的坐标,根据和为1求出方程的解,得出点P的坐标;当CM∥DN时,四边形CDNM为平行四边形,然后根据平行四边形的性质得出方程,从而求出x的值得出点P的坐标.
试题解析:(1)∵令﹣x2+2x+3=0, 解得:x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0).
设抛物线l2的解析式为y=a(x+1)(x﹣4). ∵将D(0,﹣2)代入得:﹣4a=﹣2, ∴a=. ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(2)①如图1所示:
∵A(﹣1,0),B(3,0), ∴AB=4.
设P(x,0),则M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2﹣x﹣2). ∵MN⊥AB,
∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10(﹣1<x<3). ∴当x=时,SAMBN有最大值.
∴此时P的坐标为(,0).
②如图2所示:作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM与DN不平行.
∵DC∥MN,CM=DN, ∴四边形CDNM为等腰梯形. ∴∠DNH=∠CMG.
在△CGM和△DNH中 , ∴△CGM≌△DNH. ∴MG=HN. ∴PM﹣PN=1.
设P(x,0),则M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2﹣x﹣2).
∴(﹣x2+2x+3)+(x2﹣x﹣2)=1, 解得:x1=0(舍去),x2=1. ∴P(1,0).
当CM∥DN时,如图3所示:∵DC∥MN,CM∥DN, ∴四边形CDNM为平行四边形.
∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣(x2﹣x﹣2)=5, ∴x1=0(舍去),x2=,
∴P(,0).
综上所述P点坐标为(1,0),或(,0).