题目内容
【题目】如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.
(1)、如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
(2)、如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图b,求证:BE⊥DQ;
②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)①证明见试题解析;②△DEP为等腰直角三角形.
【解析】试题分析:(1)、根据正方形性质得出BC=DC,根据旋转图形的性质得出CP=CQ以及∠PCB=∠QCD,从而得出三角形全等;(2)、①、根据全等得出∠PBC=∠QBC,设BE和CD交点为M,根据对顶角得出∠DME=∠BMC,从而说明BE⊥QD;②、根据等边三角形的性质得出PB=PC=BC,∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°,则∠PCD=30°,根据BC=DC,CP=CQ得出△PCD为等腰三角形,然后根据△DCQ为等边三角形,从而得出∠DEP=90°,从而得出答案.
试题解析:(1)、∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC
又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ,∴CP=CQ,∠PCQ=90°∴∠PCD+∠QCD=90°
又∵∠PCB+∠PCD=90° ∴∠PCB=∠QCD
在△BCP和△DCQ中 BC=DC,CP=CQ,∠PCB=∠QCD ∴△BCP≌△DCQ
(2)、①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC=∠QBC
设BE和CD交点为M ∴∠DME=∠BMC ∠MED=∠MCB=90°∴BE⊥QD
②△DEP为等腰直角三角形,
∵△BOP为等边三角形 ∴PB=PC=BC ∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°
∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°
又∵BC=DC CP=CQ∴PC=DC DC=CQ ∴△PCD是等腰三角形
△DCQ是等边三角形 ∴∠CPD=∠CDP=75°∠CDQ=60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°
∠EDP=180°-75°-60°="45" °∴∠EPD=∠EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°
∴△DEP是等腰直角三形