Question

【题目】如图，是的直径，，为上一动点，过点的直线交于两点，且，于点，于点，当点在上运动时，设， （当的值为0或3时，的值为2），探究函数随自变量的变化而变化的规律.

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：

	0	0. 40	0. 55	1. 00	1. 80	2. 29	2. 61	3
	2	3. 68	3. 84		3. 65	3. 13	2. 70	2

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：点与点重合时，长度约为________（结果保留一位小数）.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3.5.

【解析】

（1）先求出OF=1，利用勾股定理求出DF，进而求出∠ODF=30°，进而判断出DE过点O即可得出结论；
（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；
（3）先作出图形，求出OD=2，再利用锐角三角函数求出DM，即可得出DE=2即可得出结论．

解：(1) 如图1，

连接OD，当x=1时，AF=1，
∵OA=2，
∴OF=OA-AF=1，
∵DF⊥AB，
∴∠DFO=90°，
在Rt△OFD中，OD=2，OF=1，根据勾股定理得，DF==，
∴tan∠ODF===，
∴∠ODF=30°，
在Rt△CFD中，∠ACD=60°，
∴∠CDF=30°，
∴∠CDF=∠ODF，
∴DE过点O，
∴DE是⊙O的直径，
∴DE=2OD=4，
∴x=1时，y=4；

	0	0.40	0.55	1.00	1.80	2.29	2.61	3
	2	3.68	3.84	4.00	3.65	3.13	2.70	2

（2）描点，连线，得出函数的图象：

（3）如图2，

∵点F和点O重合，
∴OD=OA=OE=2，
过点O作OM⊥DE于M，
∴DE=2DM，
∵∠ACD=60°，
∴∠ODE=90°-∠ACD=30°，
在Rt△OMD中，cos∠ODE=，
∴DM=ODcos∠ODE=2×cos30°=，
∴DE=2DM=2≈3.5cm．