Question

【题目】如图，是内接三角形，点D是BC的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

（1）如图1，画出弦AE，使AE平分∠BAC；

（2）如图2，∠BAF是的一个外角，画出∠BAF的平分线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OD，延长OD交于E，连接AE，根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得∠BAE=∠CAE，即可得答案；

（2）连接OD，延长OD交于E，连接AE，反向延长OD，交于H，作射线AH，由（1）可知∠BAE=∠CAE，由HE是直径可得∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，根据平角的定义可得∠CAE+∠FAH=90°，即可证明∠BAH=∠FAH，可得答案.

（1）如图，连接OD，延长OD交于E，连接AE，

∵OE为半径，D为BC中点，

∴，

∴∠BAE=∠CAE，

∴AE为∠BAC的角平分线，弦即为所求.

（2）如图，连接OD，延长OD交于E，连接AE，反向延长OD，交于H，作射线AH，

∵HE是直径，点A在上，

∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠CAE+∠FAH=90°，

由（1）可知∠BAE=∠CAE，

∴∠BAH=∠FAH，

∴AH平分∠BAF，射线即为所求．