Question

现有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C´DA´的顶点A´、C´分别与△BAC的顶点A、C重合．现在让△C´DA´固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C´DA´的直角顶点D．
（1）如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α＝        °
（2）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D．试说明：BC∥A´C´.
（3）如图④，若将△BAC沿射线A´C´方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，已知AB＝，求m的值．

Answer 1

(1)15；（2）说明见解析；（3）．

试题分析：（1）根据α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA，进而求出答案即可；
（2）根据旋转的性质得出∠CAC′=∠BAH，进而得出∠CAC′=∠C，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，HC以及HC′的长，进而得出答案．
（1）如图②，α=∠A′C′A=45°-30°=15°；
（2）如图③，过点A作AH⊥BC于点H，

∵∠C=30°，
∴AH=AC，
∵AD=AC，
∴DH=AC，
∴AH=DH，
∴∠HAD=45°，
∴∠HAC′=∠HAD+∠DAC′=90°，
∴HA⊥AC′，
∴BC∥A′C′；
（3）如图④，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∵AB=，
∴AC=A′C′=×=，
∴HC′=DH=，
∴，
所以m的值为：HC-HC′=．