Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），且与y轴平行，抛物线与x轴相交于A（1，0），与y轴相交于B（0，3），其在对称轴左侧的图象如图所示，下面四个结论：
①x＞2时，y随x的增大而增大；
②y=3时，x的值只能为0；
③若方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=2；
④抛物线的顶点坐标是（2，-1）．
正确的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质，结合图形分别对每一项进行分析即可．

解答：解：①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），开口向上，
∴x＞2时，y随x的增大而增大，正确；
②∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴相交于B（0，3），对称轴是x=2，
∴y=3时，x的值是0或4，故本选项错误；
③∵抛物线与x轴相交于A（1，0），对称轴是x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=3-1=2，正确；
④设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
则3=a（-1）（-3），
解得：a=1，
则抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3），
则顶点坐标是（2，-1），正确．
故选C．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，用到的知识点是待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识点，关键是综合利用函数的图象和已知条件分析有关结论．