Question

如图，P为等边△ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，求证：
（1）PA+PB+PC＞

3

2

AB；
（2）AP+BP＞PC．
（注：只用三角形三边关系证明）

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形三边关系

专题：证明题

分析：（1）根据PA+PB＞AB PB+PC＞BC PC+PA＞AC，得出（PA+PB+PB+PC+PC+PA）＞AB+BC+AC，2（PA+PB+PC）＞3AB，即可得出答案，
（2）以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，则PD=AP，BP=CD，再根据PD+CD＞PC，即可得出AP+BP＞PC．

解答：解；（1）∵PA+PB＞AB PB+PC＞BC PC+PA＞AC，
∴（PA+PB+PB+PC+PC+PA）＞AB+BC+AC，
∵AB=BC=AC，
∴2（PA+PB+PC）＞3AB
∴PA+PB+PC＞

3

2

AB，
（2）如图以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD，
则△PAB≌△ACD，PD=AP，
∴BP=CD，
在△PCD中，
∵PD+CD＞PC，
∴AP+BP＞PC．

点评：此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是等边三角形的性质、三角形的三边关系、不等式的性质，关键是作出辅助线，构造出三角形．