题目内容
(2012•娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=8,D在边BC上,E在线段DC上,DE=4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.
(1)求证:△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值?并求y的最大值.
(1)求证:△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值?并求y的最大值.
分析:(1)由AB=AC,∠B=30°,根据等边对等角,可求得∠C=∠B=30°,又由△DEF是等边三角形,根据等边三角形的性质,易求得∠MDB=∠NEC=120°,∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°,即可判定:△BMD∽△CNE;
(2)首先过点M作MH⊥BC,设BD=x,由以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,可得MH=MF=4-x,由(1)可得MD=BD,然后在Rt△DMH中,利用正弦函数,即可求得答案;
(3)首先求得△ABC的面积,继而求得△BDM的面积,然后由相似三角形的性质,可求得△CNE的面积,再利用二次函数的最值问题,即可求得答案.
(2)首先过点M作MH⊥BC,设BD=x,由以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,可得MH=MF=4-x,由(1)可得MD=BD,然后在Rt△DMH中,利用正弦函数,即可求得答案;
(3)首先求得△ABC的面积,继而求得△BDM的面积,然后由相似三角形的性质,可求得△CNE的面积,再利用二次函数的最值问题,即可求得答案.
解答:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=∠FED=60°,
∴∠MDB=∠NEC=120°,
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°,
∴△BMD∽△CNE;
(2)解:过点M作MH⊥BC,
∵以M为圆心,以MH为半径的圆,则与BC相切,
∴MH=MF,
设BD=x,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=60°,
∵∠B=30°,
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B,
∴DM=BD=x,
∴MH=MF=DF-MD=4-x,
在Rt△DMH中,sin∠MDH=sin60°=
=
=
,
解得:x=16-8
,
∴当BD=16-8
时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切;
(3)解:过点M作MH⊥BC于H,过点A作AK⊥BC于K,
∵AB=AC,
∴BK=
BC=
×8=4,
∵∠B=30°,
∴AK=BK•tan∠B=4×
=
,
∴S△ABC=
BC•AK=
×8×
=
,
由(2)得:MD=BD=x,
∴MH=MD•sin∠MDH=
x,
∴S△BDM=
•x•
x=
x2,
∵△DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x,
∵△BMD∽△CNE,
∴S△BDM:S△CEN=(
)2=
,
∴S△CEN=
(4-x)2,
∴y=S△ABC-S△CEN-S△BDM=
-
x2-
(4-x)2=-
x2+2
x+
=-
(x-2)2+
(
<x<
),
当x=2时,y有最大值,最大值为
.
∴∠B=∠C=30°,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=∠FED=60°,
∴∠MDB=∠NEC=120°,
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°,
∴△BMD∽△CNE;
(2)解:过点M作MH⊥BC,
∵以M为圆心,以MH为半径的圆,则与BC相切,
∴MH=MF,
设BD=x,
∵△DEF是等边三角形,
∴∠FDE=60°,
∵∠B=30°,
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B,
∴DM=BD=x,
∴MH=MF=DF-MD=4-x,
在Rt△DMH中,sin∠MDH=sin60°=
MH |
MD |
4-x |
x |
| ||
2 |
解得:x=16-8
3 |
∴当BD=16-8
3 |
(3)解:过点M作MH⊥BC于H,过点A作AK⊥BC于K,
∵AB=AC,
∴BK=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠B=30°,
∴AK=BK•tan∠B=4×
| ||
3 |
4
| ||
3 |
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
4
| ||
3 |
16
| ||
3 |
由(2)得:MD=BD=x,
∴MH=MD•sin∠MDH=
| ||
2 |
∴S△BDM=
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
4 |
∵△DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x,
∵△BMD∽△CNE,
∴S△BDM:S△CEN=(
BD |
CE |
x2 |
(4-x)2 |
∴S△CEN=
| ||
4 |
∴y=S△ABC-S△CEN-S△BDM=
16
| ||
3 |
| ||
4 |
| ||
4 |
| ||
2 |
3 |
4
| ||
3 |
| ||
2 |
10
| ||
3 |
4 |
3 |
8 |
3 |
当x=2时,y有最大值,最大值为
10
| ||
3 |
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用.
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