题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（10，0）和B（2，4），点P从原点出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到D，使DE=PE，以PD为斜边在直线PD的右侧作等腰Rt△PCD．
（1）a=；b=；
（2）若点C恰好落在抛物线上，求点P运动的时间t；
（3）若在点P运动的同时，线段OA上另一个点Q从点A出发向原点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达原点时运动即结束）．过点Q做x轴的垂线，与直线AB交于点E延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰Rt△QMN．求当两个等腰直角三角形恰好有一条边落在同一直线上时对应时刻t的值．

解：（1）将点A（10，0）和B（2，4），代入解析式得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
故答案为：- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）∵P（t，0），直线OB表达式为：y=2x，
∴E（t，2t），
∵DE=PE，以PD为斜边在直线PD的右侧作等腰Rt△PCD，
∴PD=4t，EC=2t，
∴C点坐标为：（3t，2t），

代入抛物线解析式：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x得：
解得：t= $\text{[math]}$ ；

（3）分三种情况讨论：
①如图1，PC与MN共线，∵直线OB表达式为：y=2x，
可得：AQ=2t时，QF=t，QM=2t，
可得△PQN为等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+2t+2t=10，

解得：t=2；
②如图2，CD与NQ共线，
由以上可得出：PD=2PE=4t，
可得△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+4t+2t=10，
解得：t= $\text{[math]}$ ；
③如图3，QM与PD重合时：
OP=t，AP=2t，
则t+2t=10，
解得：t= $\text{[math]}$ ．
综上所述：当两个等腰直角三角形恰好有一条边落在同一直线上时对应时刻t的值为2或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出a，b的值即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出C点坐标，进而代入二次函数解析式求出t的值；
（3）分三种情况讨论，①如图1，PC与MN共线，②如图2，CD与NQ共线，③如图3，QM与PD重合时，分别求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．