题目内容

(2002•岳阳)已知:如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴都只有一个交点,分别为A、B且AB=2,又关于x的方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的两个实数根互为相反数.
(1)求ac的值;
(2)求二次函数的解析式;
(3)过A点的直线与二次函数图象相交于另一个点C,与y轴的负半轴相交于点D,且使△ABD和△ABC的面积相等,求此直线的解析式并求△ABC的面积.
分析:(1)根据关于x的方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的两个实数根x1,x2互为相反数,得出x1+x2=b+2ac=0,又由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,得出△=b2-4ac=0,联立可求ac及b的值;
(2)连接AB,由抛物线解析式可知OA=-
b
2a
,OB=c,在Rt△AOB中,利用勾股定理求a的值,再求c的值,确定抛物线解析式;
(3)当△ABD和△ABC的面积相等时,△ABD和△BCD同底BD,则BD边上高的比为1:2,即A、C两点横坐标的比为1:2,根据A点横坐标可求C点横坐标,代入抛物线解析式求C点纵坐标,利用“两点法”可求直线AC的解析式.
解答:解:(1)∵方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的两个实数根x1,x2互为相反数,
∴x1+x2=b+2ac=0…①,
又∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,
∴△=b2-4ac=0…②,
解①②得ac=0(舍去),ac=1,
则b=±2,
根据对称轴x=-
b
2a
>0且a>0可知b<0,故b=-2;

(2)连接AB,由抛物线解析式可知OA=-
b
2a
,OB=c,
在Rt△AOB中,OA2+OB2=AB2
即(-
b
2a
2+c2=22
b2+4a2c2
4a2
=4,
解得a=
2
2
(舍去负值),
则c=
1
a
=
2

所以,抛物线解析式为y=
2
2
x2-2x+
2


(3)∵y=
2
2
x2-2x+
2
=
2
2
(x-
2
2
∴A(
2
,0),
∵△ABD和△ABC的面积相等,
∴△ABD和△BCD的BD边上高的比为1:2,即A、C两点横坐标的比为1:2,
由此可得C点横坐标为2
2
,代入y=
2
2
(x-
2
2中,得y=
2

则C(2
2
2
),
设直线AC解析式为y=kx+n,将A(
2
,0),C(2
2
2
)代入,得
2
k+n=0
2
2
k+n=
2

解得
k=1
n=-
2

所以,直线AC解析式为y=x-
2

由于B(0,
2
),C(2
2
2
),
所以,S△ABC=
1
2
×2
2
×
2
=2.
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是结合抛物线与x轴的交点只有一个,二元一次方程的两根互为相反数列出方程组求ac及b的值,根据三角形的面积关系求A、C两点横坐标的关系.
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