题目内容
已知实数a、b满足条件a＞0，b＞0，且a+b=4，则代数式
+
的最小值是______．
| a2+1 |
| b2+4 |
作图如下所示，作AC⊥AB，BD⊥AB，
设AC=1，BD=2，AB=4，
在AB上取一点F，将AB分为AF和BF，
设AF=a，BF=b=4-a，
∴CF=
，DF=
=
，
∴CF+DF=
+
，
要求CF+DF的最小值，问题转化为在AB上找到一点F，使得CF+DF最小，
过C作关于AB对称点E，使得CA=EA=1，
连DE交AB于F，由CF+DF=DE，此时CF+DF最短．
∴代数式
+
的最小值=（CF+DF）的最小值=DE=
=5．
故答案为：5．
设AC=1，BD=2，AB=4，
在AB上取一点F，将AB分为AF和BF，
设AF=a，BF=b=4-a，
∴CF=
| a2+1 |
| b2+4 |
| (4-a)2+4 |
∴CF+DF=
| a2+1 |
| b2+4 |
要求CF+DF的最小值，问题转化为在AB上找到一点F，使得CF+DF最小，
过C作关于AB对称点E，使得CA=EA=1，
连DE交AB于F，由CF+DF=DE，此时CF+DF最短．
∴代数式
| a2+1 |
| b2+4 |
| 32+42 |
故答案为：5．
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