Question

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

1.请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称；

2.在中，如果是锐角，点分别在上，且．猜想图中哪个四边形是等对边四边形，并证明你的结论．

 

Answer 1

 

1.平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.

2.此时存在等对边四边形DBCE. ………………………………4分

       证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点. …5分

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边

∴△BGC≌△CFB

∴BF=CG…………………………………7分

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A

∠GEC=∠ABE+∠A

∴△BDF≌△CEG

∴BD=CE………………………………9分

故四边形DBCE是等对边四边形. ……………10分

证明2：此时存在等对边四边形DBCE. ………………………………4分

如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF. ……………5分

易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.……………8分

∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A

∠CEF=∠ABE+∠A

∴CF=CE………………………………9分

∴BF=CE

故四边形DBCE是等对边四边形. …………10分

解析:（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是;

（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形.