Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A、B的“m和点”.如C坐标为(0，0)时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”.
（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；
（2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；
（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件.

Answer 1

（1）8；（2）（2.5，0）或（-2.5，0）或（0，1.5）或（0，-1.5）；（3）当时，A、B的“m和点”没有；当时，A、B的“m和点”有无数个；当时，A、B的“m和点”有4个.

试题分析：（1）由△ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，再结合在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A、B的“m和点”，即可求得结果；
（2）分点C在x轴上与点C在y轴上两种情况，结合在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A、B的“m和点”，即可求得结果；
（3）根据在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A、B的“m和点”， 即可求得结果.
试题解析：（1）∵A（-2，0），B（2，0）
∴AB=4
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC=AB=4
∴AC+BC=m=8；
（2）当点C在x轴上时，AC+BC=5，则坐标为（2.5，0）或（-2.5，0）
当点C在y轴上时，AC+BC=5，则坐标为（0，1.5）或（0，-1.5）；
（3）当时，A、B的“m和点”没有；
当时，A、B的“m和点”有无数个；
当时，A、B的“m和点”有4个.