题目内容

【题目】如图,直线y1=kx+2x轴交于点A(m,0)(m4),y轴交于点B,抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a0)经过A,B两点.P为线段AB上一点,过点PPQ∥y轴交抛物线于点Q

1)当m=5时,

①求抛物线的关系式;

②设点P的横坐标为x,用含x的代数式表示PQ的长,并求当x为何值时,PQ=

2)若PQ长的最大值为16,试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系.

【答案】1①y=﹣x2+x+2;②当x=1或x=4时,PQ=

(2)当h=16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解;

当h>16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解;

当0<h<16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解.

【解析】试题分析:1①有m=5得到A点坐标,再把A点坐标代入直线解析式求出k得到y1=x+2,接着计算自变量为0时对应的函数值可得B点坐标,然后把A点和B点坐标代入y2=ax24ax+c得到ac的方程组,再解方程组求出ac即可得到抛物线解析式;②利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征,设点P的坐标为(xx+2),Qxx2+x+2),则可表示出PQ=x2+2x,然后利用PQ=得到﹣x2+2x=,然后解方程即可;(2)设Pxkx+2),则Qxax24ax+2),PQ的长用l表示,则易得l=ax24a+kx,再利用PQ长的最大值为16大致画出lx的二次函数图象,由于一元二次方程ax24axkx=h的解的情况可看作为二次函数l=ax24axkx与直线l=h的交点个数,则利用函数图象可判断当h=16时,一元二次方程ax24axkx=h有两个相等的实数解;当h16时,一元二次方程ax24axkx=h没有实数解;当0h16时,一元二次方程ax24axkx=h有两个解.

试题解析:

1①∵m=5∴点A的坐标为(50),

A50)代入y1=kx+25k+2=0,解得k=﹣∴直线解析式为y1=x+2

x=0时,y1=2∴点B的坐标为(02).

A50),B02)代入,得,解得

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2

②设点P的坐标为(x x+2),则Qx x2+x+2),

PQ=x2+x+2﹣(﹣x+2=x2+2x,而PQ=

∴﹣x2+2x=,解得:x1=1x2=4∴当x=1x=4时,PQ=

2)设Pxkx+2),则Qxax2﹣4ax+2),PQ的长用l表示,

l=ax24ax+2﹣(kx+2=ax24a+kxPQ长的最大值为16,如图,

h=16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解;

h16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解;

0h16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解.

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