Question

已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式及B的坐标；
（2）设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=

1

2

x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A、C，
∴

-9-3b+c=0 c=6

，
解得：

b=-1 c=6

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6，
当y=0时，整理得x²+x-6=0，
解得：x₁=2，x₂=-3，
∴点B（2，0）．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴

1 2 AP•BD

1 2 PC•BD

=

1

3

，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=

AO2+CO2

=3

5

当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，
∴

PH

OC

=

AP

AC

=

1

4

∴PH=

3

2

，
∴

3

2

=2x+6，
∴x=-

9

4

，
∴点P（-

9

4

，

3

2

）
当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴

PG

OC

=

AP

AC

=

1

2

，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
x=-

9

2

，
∴点P（-

9

2

，-3）．

（3）存在a的值，使得∠MON=90°，
设直线y=

1

2

x+a与抛物线y=-x²-x+6的交点为M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左侧）
则

x1=xM y1=yN

x2=xN y2=yN

为方程组

y= 1 2 x+a y=-x2-x+6

的解
分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．
∴M′（x_M，0），N′（x_N，0），
∴OM′=-x_MON′=x_N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，
∴

MM′

ON′

=

OM′

NN′

，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x_M•x_N=y_M•y_N，
由方程组消去y整理，得：x²+

3

2

x+a-6=0．
∴x_M、x_N是方程x²+

3

2

x+a-6=0的两个根，
由根与系数关系得，x_M+x_N=-

3

2

，x_M•x_N=a-6
又∵y_M•y_N=（

1

2

x_M+a）（

1

2

x_N+a）=

1

4

x_M•x_N+

a

2

（x_M+x_N）+a²=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²
∴-（a-6）=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²，
整理，得2a²+a-15=0
解得a₁=-3，a₂=

5

2

∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=

5

2

．