Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形； 
（2）如图2，当θ=45°时，设A′C与AB交于点P，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行线的性质可以证得：∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，即可证得△A′CD是等边三角形．
（2）过P作PQ⊥BC于点Q，在直角△CPQ中，利用三角函数即可求解．
解答：（1）证明：∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60°，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；

（2）解：过P作PQ⊥BC于点Q，因为θ=45°，
所以∠PCQ=45°．所以．因为∠B=30°，
所以BP=2PQ．
所以
点评：本题考查了等边三角形的判定以及三角函数，正确作出辅助线，把角的大小转化成边之间的比值是关键．