题目内容
【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
【答案】（1）证明见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（3）当点O是AC的中点，△ABC中∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．
【解析】试题解析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．
（3））由OE=OF，OA=OC可判断四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF=90°，则可判断四边形AECF为矩形，根据正方形的判定方法，当∠2=45°时，四边形AECF为正方形，于是可得∠ACB=90°．
试题解析：（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=
×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴四边形AECF是矩形．
（3）∵OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
当∠2=45°时，四边形AECF为正方形，
此时∠ACB=90°，
即当点O是AC的中点，△ABC中∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．
