题目内容

【题目】如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证:EO=FO;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

【答案】(1)证明见解析;(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.(3)当点O是AC的中点,△ABC中∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形.

【解析】试题解析:(1)根据平行线性质和角平分线性质及,由平行线所夹的内错角相等易证;

(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,根据矩形的判定方法,即一个角是直角的平行四边形是矩形可证.

(3))由OE=OF,OA=OC可判断四边形AECF为平行四边形,再证明∠ECF=90°,则可判断四边形AECF为矩形,根据正方形的判定方法,当∠2=45°时,四边形AECF为正方形,于是可得∠ACB=90°.

试题解析:(1)证明:∵CE平分∠ACB,

∴∠1=∠2,

又∵MN∥BC,

∴∠1=∠3,

∴∠3=∠2,

∴EO=CO,

同理,FO=CO,

∴EO=FO;

(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.

理由如下:

∵EO=FO,点O是AC的中点.

∴四边形AECF是平行四边形,

∵CF平分∠BCA的外角,

∴∠4=∠5,

又∵∠1=∠2,

∴∠2+∠4=×180°=90°.

即∠ECF=90度,

∴四边形AECF是矩形.

(3)∵OE=OF,OA=OC,

∴四边形AECF为平行四边形,

∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACB的外角,

∴∠ECF=90°,

∴四边形AECF为矩形,

当∠2=45°时,四边形AECF为正方形,

此时∠ACB=90°,

即当点O是AC的中点,△ABC中∠ACB=90°时,四边形AECF是正方形.

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