题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AB的长是 ．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
【答案】（1）6；（2）EF与AD平行且相等，理由见解析；（3）t＝4
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C＝30°，则AC＝2AB，得到AB的值．
（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD＝EF，在运动过程中关系不变．
（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．
解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．
∴∠C＝30°
∵AC＝12
∴AB＝6，
故答案为：6；
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．
（3）能；理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB＝6，AC＝12．
∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．
若使AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝12﹣2t，t＝4．
即当t＝4时，四边形AEFD为菱形．
