Question

【题目】如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（4，0）代入二次函数有：

0=﹣16+4b+3

得：b=

所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+ x+3．

当x=0时，y=3

∴点B的坐标为（0，3）

（2）

解：如图：

作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，

则：BP=AP

设BP=AP=x，则OP=4﹣x，

在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2

即：x2=32+（4﹣x）2

解得：x=

∴OP=4﹣ =

所以点P的坐标为：（ ，0）

综上可得点P的坐标为（ ，0）．

【解析】（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．（2）分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．