题目内容

【题目】综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点(点在点的右侧)，与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过，两点，连接．

（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；

（2）探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点：

①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；

②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，；（2）存在，点的坐标为或；（3）①抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为

【解析】

（1）先由抛物线的解析式以及图像特征求得点、的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；

（2）先由点、 、 三点的坐标根据坐标系中距离公式推出为等边三角形，再分两种情况画图进行分类讨论，利用解直角三角形确定符合要求的点的坐标．

（3）①通过添加辅助线构造出四边形，然后根据菱形的判定方法进行证明即可；

②通过添加辅助线构造出四边形，然后根据矩形的判定方法进行证明即可．

解：（1）当时，

解得，

∵

∴点的坐标为，点的坐标为

∴抛物线的对称轴为直线

∴点的坐标为

当时，

∴点的坐标为

设直线的表达式为，则

解得

∴直线的表达式为．

（2）结论：直线上存在点，使为直角三角形．

证明：∵点的坐标为，点的坐标为

∴

又∵点的坐标为，

∴

∴

∴为等边三角形

∴

分两种情况：

①当时，

∵

∴

作轴于点，如图：

∵在中，

∴，

∴点的坐标为．

②作轴于点，如图：

当时

∵

∴，

∴

∴

在中，

∴，

∵

∴点的坐标为

∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；

（3）①过点作轴交抛物线于点，连接，如图：

∵点的坐标为，

∴当时，

∴，（不合题意舍去）

∴点的坐标为

∴

∵点的坐标为

∴

∵由（2）可知

∴

∴四边形是菱形

∴当点位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；

②过点作交直线于点，连接、，如图：

∵

∴

∵由（2）可知

∴

∵由（2）可知

∴

∴

∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为

∴，

∴

∴四边形是矩形

∴抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．

练习册系列答案
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