Question

【题目】如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；

（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（，）；（3）E（3，1）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；

（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．

试题解析：（1）∵抛物线（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；

（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为①，∴D（0，﹣4），∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，∴联立①②得：，解得，（舍）或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直线AC解析式为y=﹣x+4，∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为，∵直线AC解析式为y=﹣x+4，∴直线DF和直线AC的交点E（，）；

（3）∵BD=，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×=＞BD，∴∠BED不可能是直角，∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，∵△BDE为直角三角形，∴∠BDE=90°或∠BDE=90°．

①当∠BDE=90°时， BE⊥BD交AC于B，∴直线BE解析式为，∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，∴E（3，1）；

当②∠BDE=90°时，BE⊥BD交AC于D，∴直线BE的解析式为，∵点E在抛物线上，∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，），∴E（，），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，）．