题目内容

【题目】如图,抛物线(a0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使BAP=CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)E(﹣2,﹣5);(3)

【解析】

试题分析:(1)把A、B两点的坐标代入,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;

(2)当S△ABE=S△ABC时,可知E点和C点的纵坐标相同,可求得E点坐标;

(3)在CAE中,过E作EDAC于点D,可求得ED和AD的长度,设出点P坐标,过P作PQx轴于点Q,由条件可知EDA∽△PQA,利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程,可求得P点坐标.

试题解析:(1)把A、B两点坐标代入解析式可得,解得抛物线解析式为

(2)在中,令x=0可得y=﹣5,C(0,﹣5),S△ABE=S△ABC,且E点在x轴下方,E点纵坐标和C点纵坐标相同,当y=﹣5时,代入可得,解得x=﹣2或x=0(舍去),E点坐标为(﹣2,﹣5);

(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为(m,),如图,连接AP、CE、AE,过E作EDAC于点D,过P作PQx轴于点Q,则AQ=AO+OQ=5+m,PQ=,在RtAOC中,OA=OC=5,则AC=ACO=DCE=45°,由(2)可得EC=2,在RtEDC中,可得DE=DC=AD=AC﹣DC==BAP=CAE时,则EDA∽△PQA,,即

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时,整理可得,解得m=或m=﹣5(与A点重合,舍去),存在满足条件的点P,其横坐标为

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