Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.

（1）求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）矩形，理由见解析

【解析】

（1）①根据AAS证明△AFE≌△DBE即可；

②利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；

（2）由三线合一可证明AD⊥BC，然后根据矩形的判定方法解答即可．

（1）证明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∵∠AFE＝∠DBE，

∠FEA＝∠BED，

AE＝DE，

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∴AF=DC．

②由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是矩形．理由如下：

证明：∵在△ABC中，AB=AC， AD是斜边BC上的中线，

∴AD⊥BC，

∵四边形ADCF是平行四边形，

∴平行四边形ADCF是矩形．