Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x轴，抛物线y=ax²－2ax＋3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3；（2）P₁(1，4)  P₂(1，-2) .

试题分析：（1）根据题意知点B的坐标为（0，3）抛物线的对称轴方程为x=1，所以A点坐标为（1，4），C点坐标为（2，3），由此可求抛物线的解析式.
(2)分两种情况：CD为直角边，CD为斜边进行讨论，由勾股定理得到方程即可求出P点坐标.
试题解析：（1）∵y=ax²－2ax＋3
∴它的对称轴为直线x=
令x=0，则y=3,
∴B（0，3）
根据抛物线的对称性知：C（2，3），A（1，4）
把A（1，4）代入y=ax²－2ax＋3，得：a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）存在.分两种情况：
（1）当CD为直角边时，设P（1，a）：
i)当点P在x轴上方时，DP=，CP=，，
∵CD²+CA²=AD²
∴18+2=4+a²
即：a²=16
解得a=±4（负舍去）
∴a=4
ii)当点P在x轴下方时，CD²+DP²=CP²
∴
解得：a=-2
(2)当CD为斜边时，同理可以得出：a=
综上所述，点P的坐标分别为：P₁(1，4)  P₂(1，-2)