Question

求k的值，使得两个一元二次方程：x²+kx-1=0，x²+x+（k-2）=0有相同的根，并求两个方程的根．

Answer 1

解：不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
a²+ka-1=0，①
a²+a+（k-2）=0．②
①-②有ka-1-a-（k-2）=0，
即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．
（1）当k=1时，两个方程都变为x²+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，
x₁=，x₂=
没有相异的根；
（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，
此时两个方程变为x²-1=0，x²+x-2=0．
解这两个方程，x²-1=0的根为x₁=1，x₂=-1；
x²+x-2=0的根为x₁=1，x₂=-2．
∴x=1为两个方程的相同的根．
分析：若两个方程有相同的根，一般是设出两个方程的公共根，然后相减，用分组分解法因式分解，求出字母系数和公共根．
点评：本题考查的是一元二次方程的解和用因式分解法解一元二次方程，两个方程有公共根，通常是设两方程的公共根，代入两个方程，然后相减，求出字母系数和公共根．