题目内容
如图,已知B(0,4),点A在第一象限,且AB⊥y轴,∠A=30°.
(1)写出点A的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在点C,使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等?若存在求出点C的坐标;若不存在请说明理由;
(3)点P从点A出发,以2个单位/秒的速度沿射线AO运动,点Q从点O出发,以1厘米/秒的速度沿y轴正方向运动,点P和点Q同时出发,设运动时间是t秒,
①当t为何值时,△OPQ是直角三角形?
②当t为何值时,△OPQ是等腰三角形?
(1)写出点A的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在点C,使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等?若存在求出点C的坐标;若不存在请说明理由;
(3)点P从点A出发,以2个单位/秒的速度沿射线AO运动,点Q从点O出发,以1厘米/秒的速度沿y轴正方向运动,点P和点Q同时出发,设运动时间是t秒,
①当t为何值时,△OPQ是直角三角形?
②当t为何值时,△OPQ是等腰三角形?
分析:(1)根据直角三角形中的30度角所对的直角边是斜边的一半求得AO的长度,然后解直角三角形求AB的长度;
(2)存在三种情况,画出图形,根据A的坐标和全等三角形的性质求出即可;
(3)①分为两种情况,当∠OPQ=90°和∠OQP=90°,根据含30度角的直角三角形性质得出方程,求出方程的解即可;
②分为两种情况:当P在线段AO上和当P在AO延长线上,根据等腰三角形性质得出方程,求出方程的解即可.
(2)存在三种情况,画出图形,根据A的坐标和全等三角形的性质求出即可;
(3)①分为两种情况,当∠OPQ=90°和∠OQP=90°,根据含30度角的直角三角形性质得出方程,求出方程的解即可;
②分为两种情况:当P在线段AO上和当P在AO延长线上,根据等腰三角形性质得出方程,求出方程的解即可.
解答:解:(1)∵B(0,4),
∴OB=4,
∵点A在第一象限,且AB⊥y轴,∠A=30°,
∴AB=
=4
,
∴A(4
,4);
(2)存在点C,使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等,
理由是:分为三种情况:①延长AB到C,使AB=BC,连接OC,如图1,
则此时△ABO≌△CBO,
此时CB=AB=4
,BO=4,
则C的坐标是(-4
,2);
②过A作AC⊥x轴于C,连接BC,如图2,
则此时△ABO≌△COB,
则C的坐标是(4
,0);
③在x轴的负半轴上,截取OC=AB,连接CB,如图3,
则此时△ABO≌△COB,
则C的坐标是(-4
,0);
综合上述:C的坐标是(-4
,4)或(4
,0)或(-4
,0);
(3)当∠OPQ=90°时,如图4,
∵∠AOB=60°,
∴∠OQP=30°,
∴PO=
OQ,
即8-2t=0.5t,
解得:t=3.2;
当∠OQP=90°时,
∵∠AOB=60°,
∴∠OPQ=30°,
∴PO=2OQ,
即8-2t=2t,
解得:t=2;
即当t=3.2或2时,△OPQ是直角三角形;
②当P在线段AO上时,如图6,
∵∠QOP=60°,△POQ是等腰三角形,
∴△POQ是等边三角形,
即OP=OQ,
∴8-2t=t,
解得:t=
;
当P在AO延长线时,如图7,
只能OQ=OP,
即2t-8=t,
解得:t=8;
∴当t=
或8时,△POQ是等腰三角形.
∴OB=4,
∵点A在第一象限,且AB⊥y轴,∠A=30°,
∴AB=
OB |
tan30° |
3 |
∴A(4
3 |
(2)存在点C,使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等,
理由是:分为三种情况:①延长AB到C,使AB=BC,连接OC,如图1,
则此时△ABO≌△CBO,
此时CB=AB=4
3 |
则C的坐标是(-4
3 |
②过A作AC⊥x轴于C,连接BC,如图2,
则此时△ABO≌△COB,
则C的坐标是(4
3 |
③在x轴的负半轴上,截取OC=AB,连接CB,如图3,
则此时△ABO≌△COB,
则C的坐标是(-4
3 |
综合上述:C的坐标是(-4
3 |
3 |
3 |
(3)当∠OPQ=90°时,如图4,
∵∠AOB=60°,
∴∠OQP=30°,
∴PO=
1 |
2 |
即8-2t=0.5t,
解得:t=3.2;
当∠OQP=90°时,
∵∠AOB=60°,
∴∠OPQ=30°,
∴PO=2OQ,
即8-2t=2t,
解得:t=2;
即当t=3.2或2时,△OPQ是直角三角形;
②当P在线段AO上时,如图6,
∵∠QOP=60°,△POQ是等腰三角形,
∴△POQ是等边三角形,
即OP=OQ,
∴8-2t=t,
解得:t=
8 |
3 |
当P在AO延长线时,如图7,
只能OQ=OP,
即2t-8=t,
解得:t=8;
∴当t=
8 |
3 |
点评:本题考查了等腰三角形的性质,等边三角形的性质和判定,坐标与图形性质,勾股定理,直角三角形的性质的应用,主要考查学生的推理和计算能力,用了分类讨论思想,有一定的难度.
练习册系列答案
相关题目
如图,已知:DE∥BC,AB=14,AC=18,AE=10,则AD的长为( )
A、
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B、
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C、
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D、
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