Question

如图，在直角三角形ABC和直角三角形ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD交于点M，BD交AC于N．

①求证：BD=CE；
②求证：BD⊥CE；
③当三角形ABC绕点A顺时针方向旋转到如图②的位置时，上述结论是否成立？请选择一个结论给予证明．

Answer 1

①证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

②证明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠1+∠AEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ADB=90°，
∴∠DME=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE；

③解：当三角形ABC绕点A顺时针方向旋转到如图②的位置时，上述结论还成立，
理由是：延长DB交CE于F，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠4+∠ADB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠AEC=90°，
∴∠5=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
即当三角形ABC绕点A顺时针方向旋转到如图②的位置时，上述结论还成立．
分析：①根据直角三角形性质得出∠BAC=∠EAD=90°，推出∠BAD=∠EAC，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；
②根据全等三角形的性质推出∠AEC=∠ADB，根据∠1+∠AEC=90°推出∠2+∠ADB=90°，求出∠DME=90°，根据垂直定义求出即可；
③延长DB交CE于F，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出BD=CE，∠AEC=∠ADB，求出∠3+∠AEC=90°，求出∠5=90°，根据垂直定义求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点，通过做此题培养了学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．