Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为15，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）存在点F使四边形ABFC的面积为15，此时，点F的坐标为（1，）或（3，）

【解析】

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；

（2）连接BF、CF、OF，作FG⊥x轴于点G，设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），用t分别表示出S△OBF、S△OCF、S△AOC，根据题意列式计算即可．

(1)由题意得，，

解得，，

则抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；

(2)连接BF、CF、OF，作FG⊥x轴于点G，

设点F的坐标为(t，﹣t2+t+4)，

∵A(﹣2，0)，抛物线的对称轴是直线 x=1，

∴B(4，0)．

∴S△OBF=×4×(﹣t2+t+4)=﹣t2+2t+8，

S△OCF=×4×t=2t，S△AOC=×2×4=4，

∵S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OCF=﹣t2+2t+8，

由题意得，﹣t2+2t+8=15，

解得，t1=1，t2=3，

∴存在点F使四边形ABFC的面积为15，此时，点F的坐标为(1，)或(3，)．