题目内容

【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)Q点的坐标为(0,0)或(,0).

【解析】

试题分析:(1)先确定出点B,C坐标,再用待定系数法求函数解析式;

(2)先求出BA=2,BC=3,BP=,然后分两种情况①由ABC∽△PBQ,得到,求出BQ,②由ABC∽△QBP得,求出BQ,即可.

解:(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,

令x=0,得y=3,

C(0,3),

令y=0,得x=3,

B(3,0),

经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c

解得

抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;

(2)由(1),得A(1,0),连接BP,

∵∠CBA=ABP=45°,

抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;

P(2,﹣1),

A(1,0),B(3,0),C(0,3),

BA=2,BC=3,BP=

ABC∽△PBQ时,

BQ=3,

Q(0,0),

ABC∽△QBP时,

BQ=

Q(,0),

Q点的坐标为(0,0)或(,0).

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