题目内容
【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)Q点的坐标为(0,0)或(,0).
【解析】
试题分析:(1)先确定出点B,C坐标,再用待定系数法求函数解析式;
(2)先求出BA=2,BC=3,BP=,然后分两种情况①由△ABC∽△PBQ,得到,求出BQ,②由△ABC∽△QBP得,求出BQ,即可.
解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
令x=0,得y=3,
∴C(0,3),
令y=0,得x=3,
∴B(3,0),
∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c
∴,
解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)由(1),得A(1,0),连接BP,
∵∠CBA=∠ABP=45°,
∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
∴P(2,﹣1),
∵A(1,0),B(3,0),C(0,3),
∴BA=2,BC=3,BP=,
当△ABC∽△PBQ时,
∴,
∴,
∴BQ=3,
∴Q(0,0),
当△ABC∽△QBP时,
∴,
∴,
∴BQ=,
∴Q(,0),
∴Q点的坐标为(0,0)或(,0).
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