Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD中，P为对角线AC上的任意一点，分别连接PB、PD，PE⊥PB，交CD与E，

（1）求证：PE=PD；

（2）当E为CD的中点时，求AP的长；

（3）设AP=x（），四边形BPEC的面积为y，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）AP的长为；

（3）证明见解析.

【解析】作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据轴对称图形的性质得到PB=PD，PG=PH，证明△BPG≌△EPH，得到PB=PE，等量代换得到答案；

（2）证明∠DPH=∠EPH，根据等腰三角形的性质求出DH，根据勾股定理计算即可；

（3）根据四边形BPEC的面积=正方形PGCH的面积计算.

证明（1）过P作MN∥BC，分别交AB、CD与M、N点；

易证△ABP≌△ADP，∴PD=P

易证△MBP≌△NEP，∴PE=PB

即 PE=PD（2）解：由题意知DN=NE=

又AM=DN

∴AM=

在直角△AMP中，

AP=

（3）证明：当AP=，则PM=,

设=△PBC的面积，=△PEC的面积，

则,

∴=

即=

“点睛”本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°、一条对角线平分一组对角是解题的关键.