题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,DE∥AB,DE交BC于E,交AC于F,DE=BC,∠CDE=∠ACB=30°.
(1)若AB=4,求CD的长.
(2)判断△FCD的形状,并说明理由.
【答案】
(1)解:在△ACB和△CDE中,∠B=∠DEC=90°,BC=DE,
∠ACB=∠CDE,
在△ACB和△CDE中,
,
∴△ACB≌△CDE,
∴AC=CD,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,AB=4,
∴AC=2AB=8,
∴CD=8
(2)解:△FCD是等腰三角形,
理由:∵DE∥AB,∠B=90°,
∴∠DEC=90°,
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°,
∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACB=30°,
∴∠CDE=∠DCF,
∴DF=CF,
∴△FCD是等腰三角形
【解析】(1)证明△ACB≌△CDE,得到AC=CD,根据直角三角形的性质求出AC,求出CD;(2)根据等腰三角形的判定定理证明.
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的判定的相关知识点,需要掌握三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形才能正确解答此题.
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