Question

【题目】如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．

（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；

（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；

（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）直角三角形，理由见解析；（3）18；

【解析】

试题分析：（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似时分两种情况：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及tan∠EOF=2列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；

（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS证明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出∠ABO=90°，进而得出△ABO为直角三角形；

（3）设OD=a，根据tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面积公式求出S△AMC=2AC，S△BOC=12a，根据S△AMC=S△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等列出关于a的方程，解方程求出a的值，进而得出AC的长．

解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，

∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，

∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：

①当△AMC∽△BOD时，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=8；

②当△AMC∽△OBD时，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=2．

故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO为直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴，∠AMC=∠ABD，

∵M为AB中点，

∴C为AD中点，BD=2MC=8．

∵tan∠EOF=2，

∴OD=4，

∴CD=OC﹣OD=8，

∴AC=CD=8．

在△AMC与△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM=∠DBO，

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，

∴△ABO为直角三角形；

（3）连结BC，设OD=a，则BD=2a．

∵S△AMC=S△BOC，S△AMC=ACMC=2AC，S△BOC=OCBD=12a，

∴2AC=12a，

∴AC=6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴，即，

解得a1=3，a2=﹣（舍去），

∴AC=6×3=18．