题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A(2,0)和点B,与y轴交于点C,顶点为点D,对称轴为直线x=﹣1,点E为线段AC的中点,点F为x轴上一动点.
(1)直接写出点B的坐标,并求出抛物线的函数关系式;
(2)当点F的横坐标为﹣3时,线段EF上存在点H,使△CDH的周长最小,请求出点H,使△CDH的周长最小,请求出点H的坐标;
(3)在y轴左侧的抛物线上是否存在点P,使以P,F,C,D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由A、B关于x=﹣1对称,得
B(﹣4,0),
∵抛物线y=ax2+bx﹣4过A(2,0)、B(﹣4,0),
∴ ,
解得: ,
∴y= x2+x﹣4
(2)
解:如图1,
当x=0时,y=﹣4,即C(0,﹣4),
y= x2+x﹣4= (x+1)2﹣
∴D(﹣1,﹣ ),
∵E为线段AC的中点,A(2,0),C(0,﹣4),
∴E(1,﹣2).
∵点F横坐标为﹣3,
∴F(﹣3,0),
∴AF=5,CF= = =5,
∴AF=CF,
∵E为线段AC的中点,
∴EF垂直平分AC,
∴A、C关于直线EF轴对称,连接AD,与直线EF交点即为所求H,
∴EF⊥AC.
设直线EF关系式为y=k1x+b1,
∴ ,
解得: ,
∴直线EF:y=﹣ x﹣ ,
设直线AD关系式为y=k2x+b2,
∴ ,
解得: ,
∴y= x﹣3,
联立AD,EF,得 ,
∴ ,
∴H( ,﹣ )
(3)
解:若CD为对角线,不存在;
若CD为边,则PF∥CD且PF=CD,
∵C(0,﹣4),D(﹣1,﹣ ),点F为x轴上一动点,
如图2,PDCF是平行四边形,对角线的纵坐标为﹣ ,P点纵坐标﹣ ,
当y=﹣ 时, x2+x﹣4=﹣ ,解得x1=﹣1+2 (舍),x2=﹣1﹣2 ,
∴P1(﹣1﹣2 ,﹣ ).
如图3,PFDC是平行四边形,对角线的交点坐标为﹣2,P点坐标为 ,
当y= 时, x2+x﹣4= ,解得x1=﹣1+ (舍),x2=﹣1﹣ ,
∴P2(﹣1﹣ , ).
综上所述:在y轴左侧的抛物线上存在点P,使以P,F,C,D为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标(﹣1﹣2 ,﹣ ),(﹣1﹣ , )
【解析】(1)根据轴对称,可得B点坐标,根据待定系数法,可得答案;(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得C点坐标,根据配方法,可得D点坐标,根据勾股定理,可得CF的长,根据等腰三角形的性质,可得A,C关于EF对称,根据轴对称的性质,可得PA=PC,根据两点之间线段最短,可得P是AD与EF的交点,根据解方程组,可得答案;(3)根据平行四边形的对角线互相平分,可得P点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角),以及对平行四边形的性质的理解,了解平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.
【题目】A,B,C三名大学生竞选系学生会主席,他们的笔试成绩和口试成绩(单位:分)分别用了两种方式进行了统计,如下表和图①:
A | B | C | |
笔试 | 85 | 95 | 90 |
口试 | 80 | 85 |
(1)请将表格和图①中的空缺部分补充完整;
(2)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票,三位候选人的得票情况如图②(没有弃权票,每名学生只能推荐一人),请计算每人的得票数;
(3)若每票计1分,系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4∶3∶3的比确定个人成绩,请计算三位候选人的最后成绩,并根据成绩判断谁能当选.