Question

如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，
 ， 整理得： 解得
∴二次函数的解析式为：，即：。                         
（2）由 整理得 ，解得。
∴C （－2，0），D 。
∴AC²="4+9" ，BC²=36+16，AC²+ BC²=13+52=65，AB²=64+1=65，
∴ AC²+ BC²=AB²。∴△ACB是直角三角形。
（3）设（x<0），则PH=， HD=。
又∵AC=， BC=，
①当△PHD∽△ACB时有：，即：，
整理得 ，解得（舍去），此时，。
∴。
②当△DHP∽△ACB时有：， 即：，
整理 ，解得（舍去），此时，。
∴。
综上所述，满足条件的点有两个即，。

解析