题目内容

【题目】如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90,点DAB边上的一点,

(1)试说明:∠EAC=∠B

(2)若AD=15,BD=36,求DE的长.

(3)若点DA、B之间移动,当点D为 时,ACDE互相平分.

(直接写出答案,不必说明理由)

【答案】(1)证明见解析(2)39 (3)AB的中点

【解析】试题分析

1)先由∠ACB∠ECD90可得∠ECA=∠DCB再由“SAS”证△ECA≌△DCB可得结论;

2)由△ECA≌△DCB可得:AE=BD=36∠EAC=∠B=45°可证∠DAE=90°从而得到△ADE是直角三角形再由勾股定理可求得DE的长;

3如图,若ACDE互相平分,由DCE=90°,易得CO=AO=DE=OD=OE从而可得ODA=OAD=45°,并由此得到∠DOA=90°再证△COD为等腰直角三角形,可得∠CDO=45°这样CDA=CDO+ODA=90°,即CDAB,∴点DAB的中点.

试题解析

1∵∠ACB=∠ECD=90°

∴∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD

∴∠ECA∠DCB

∵△ACB△ECD都是等腰三角形

∴ECDCACBC

∴△ACE≌△BCD

∴∠EAC∠B.

2∵△ACE≌△BCD

∴AEBD36

∵∠EAC∠B45 °

∴∠EAD∠EAC∠CAD90°

RtADE中,

∴DE2=152+362

∴DE39.

3)当点DAB的中点时,ACDE互相平分理由如下

∵AC=BCDAB中点,∠ACB=90°

CD=AB=ADCDA=90°

∴∠DCA=∠DAC=45°

∵∠ECD=90°

∴∠ECO=45°=∠DCA

∵CD=CE

∴CO为△DCE的中线.

∵∠CDA=90°∠CDE=45°

∴∠ODA=45°=∠CDE

又∵CD=AD

∴DO△ADC的中线.

∴ACDE互相平分.

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