题目内容

如图，过原点的直线l₁：y=3x，l₂：y= $数学公式$ x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l₁、l₂于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=-x+t．△AOB的面积为S_l（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S₂（如图②）．连接PD并延长，交l₁于点E，交l₂于点F．设△PEA的面积为S₃；（如图③）

（1）S_l关于t的函数解析式为；（2）直线OC的函数解析式为；
（3）S₂关于t的函数解析式为；（4）S₃关于t的函数解析式为．

解：（1）∵直线l₁与直线PQ相交于点A，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∵直线l₂与直线PQ相交于点B，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴B点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
∴S₁=S_△AOP-S_△BOP= $\text{[math]}$ t²（2）由（1）得，点C的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴k= $\text{[math]}$ ，
∴直线OC的解析式为y= $\text{[math]}$ x．

（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S₂=CB²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ．

（4）设直线PD的解析式为y=k₁x+b，由（1）知，点D的坐标为（ $\text{[math]}$ t， $\text{[math]}$ ），
将P（t，0）、D（ $\text{[math]}$ ）代入得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
∴直线PD的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ t．
由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴S₃=S_△EOP-S_△AOP= $\text{[math]}$ t• $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ t• $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t²．
分析：（1）把直线PQ的解析式分别与直线l₁，l₂的解析式联立，求出A，B两点坐标，用坐标表示三角形的底、高，运用割补法求S₁；
（2）由于直线PQ与x轴的夹角为45°，根据正方形的性质可得，AC⊥x轴，BC∥x轴，C点横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，直线OC解析式可求；
（3）根据（1）（2）所得A、B、C三点坐标，可求AC，BC的长，从而，就可以表示S₂了；
（4）用（2）的方法，可推出D点坐标（ $\text{[math]}$ t， $\text{[math]}$ ），又P（t，0），可求直线PD解析式，从而可求点E的坐标，用S₃=S_△OEP-S_△OAP可表示面积．
点评：本题考查了点的坐标求法，正方形的性质，采用了三角形面积的割补法表示面积．