Question

如图，过原点的直线l₁：y=3x，l₂：y=

1

2

x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l₁、l₂于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=-x+t．△AOB的面积为S_l（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S₂（如图②）．连接PD并延长，交l₁于点E，交l₂于点F．设△PEA的面积为S₃；（如图③）

（1）S_l关于t的函数解析式为

 

；（2）直线OC的函数解析式为

 

；
（3）S₂关于t的函数解析式为

 

；（4）S₃关于t的函数解析式为

 

．

Answer 1

分析：（1）把直线PQ的解析式分别与直线l₁，l₂的解析式联立，求出A，B两点坐标，用坐标表示三角形的底、高，运用割补法求S₁；
（2）由于直线PQ与x轴的夹角为45°，根据正方形的性质可得，AC⊥x轴，BC∥x轴，C点横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，直线OC解析式可求；
（3）根据（1）（2）所得A、B、C三点坐标，可求AC，BC的长，从而，就可以表示S₂了；
（4）用（2）的方法，可推出D点坐标（

2

3

t，

3

4

t），又P（t，0），可求直线PD解析式，从而可求点E的坐标，用S₃=S_△OEP-S_△OAP可表示面积．

解答：解：（1）∵直线l₁与直线PQ相交于点A，
∴

y=3x y=-x+t

，解得

x= t 4 y= 3t 4

，
∴A点坐标为（

t

4

，

3t

4

）
∵直线l₂与直线PQ相交于点B，
∴

y= 1 2 x y=-x+t

，解得

x= 2 3 t y= t 3

∴B点坐标为（

2t

3

，

1

3

t）．
∴S₁=S_△AOP-S_△BOP=

5

24

t²

（2）由（1）得，点C的坐标为（

t

4

，

t

3

）．
设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得

t

4

k=

1

3

t，
∴k=

4

3

，
∴直线OC的解析式为y=

4

3

x．

（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB=

2

3

t-

1

4

t=

5

12

t，
∴S₂=CB²=（

5t

12

）²=

25t2

144

．

（4）设直线PD的解析式为y=k₁x+b，由（1）知，点D的坐标为（

2

3

t，

3

4

t），
将P（t，0）、D（

2t

3

，

3t

4

）代入得

tk1+b=0 2 3 tk1+b= 3 4 t

，
解得

k1=- 9 4 b= 9 4 t

∴直线PD的解析式为y=-

9

4

x+

9

4

t．
由

Y=- 9 4 x+ 9 4 t y=3x

，
得

x= 3 7 t y= 9 7 t

∴E点坐标为（

3

7

t，

9

7

t）
∴S₃=S_△EOP-S_△AOP=

1

2

t•

9

7

t-

1

2

t•

3

4

t=

15

56

t²．

点评：本题考查了点的坐标求法，正方形的性质，采用了三角形面积的割补法表示面积．