题目内容
【题目】(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是__________;位置关系是__________.
(2)类比思考:
如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.
(3)深入研究:
如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
【答案】(1)MG=NG; MG⊥NG;(2)成立,MG=NG,MG⊥NG;(3)答案见解析
【解析】(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,进而判断出∠BDC+∠DBH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位线定理即可得出结论;
(2)同(1)的方法即可得出结论;
(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.
(1)连接BE,CD相交于H,如图1,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵点M,G分别是BD,BC的中点,
∴MG∥CD且MG=CD,
同理:NG∥BE且NG=BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
(2)连接CD,BE,相交于H,如图2,
同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;
(3)连接EB,DC并延长相交于点H,如图3.
同(1)的方法得,MG=NG,
同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,
∴∠DHE=90°,
同(1)的方法得,MG⊥NG.
∴△GMN是等腰直角三角形.

【题目】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某城市规定用水收费标准如下:每户每月用水量不超过6米3时,水费按a元/米3收费;每户每月用水量超过6米3时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分按c元/米3收费,该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示:
月份 | 用水量(m3) | 收费(元) |
3 | 5 | 7.5 |
4 | 9 | 27 |
(1)求a、c的值,并写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时,水费与用水量之间的关系式;
(2)已知某户5月份的用水量为8米3,求该用户5月份的水费.