Question

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD。
（1）试判断四边形OCED是何种特殊四边形，并加以证明．
（2）若∠OAD=30⁰，F、G分别在OD、DE上，OF=DG，连结CF、CG、FG， 判断△CFG形状，并加以证明．

Answer 1

（1）菱形，证明见解析；（2）等边三角形，证明见解析.

试题分析：（1）根据矩形性质求出OC=OD，根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据菱形判定推出即可；
（2）判断出△OCD和△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠COD=∠CDG=60°，再利用“边角边”证明△COF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=CG全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠OCF，再求出∠FCG=60°，然后判断出△CFG是等边三角形．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）在矩形ABCD中，△OCD和△CDE是等边三角形，

∴∠COD=∠CDG=60°，
在△COF和△CDG，
，
∴△COF≌△CDG（SAS），
∴CF=CG，∠DCG=∠OCF，
∴∠FCG=∠DCO=60°，
∴△CFG为等边三角形．