题目内容
已知二次方程x2-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α3+β3；③α3-β3；④
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分析：根据根与系数的关系，写出α+β和αβ的值，再把要求的代数式转化成含有α+β和αβ的形式，求出代数式的值．
解答：解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
=
=
=
．
②α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）[（α+β）2-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α3-β3=（α-β）（α2+αβ+β2）=（α-β）[（α+β）2-αβ]
由①知α-β=±
，
∴原式=±
（9-1）=±8
．
④
+
=
+
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
=
=3．
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
| (α-β)2 |
| (α+β)2-4αβ |
| 9-4 |
| 5 |
②α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）[（α+β）2-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α3-β3=（α-β）（α2+αβ+β2）=（α-β）[（α+β）2-αβ]
由①知α-β=±
| 5 |
∴原式=±
| 5 |
| 5 |
④
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∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
| α+β | ||
|
| 3 |
| 1 |
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后代入代数式求出代数式的值．
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