Question

已知二次方程x²-px+q=0的两根为α、β，求
①以α³、β³为根的一元二次方程；
②若以α³、β³为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，求所有这样的一元二次方程．

Answer 1

分析：①欲求以α³、β³为根的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可知所求方程是x²-（α³+β³）x+α³β³=0．先由已知条件得出α+β=p，αβ=q，再运用立方和公式、积的乘方的运算性质用含p、q的代数式分别表示α³+β³，α³β³即可；
②由于①中所求方程即为x²-px+q=0，则得方程组

p3-3pq=p q3=q

，解此方程组，即可求出p、q的值，再舍去无实根的方程，从而求出问题的解．

解答：解：①∵方程x²-px+q=0的两根为α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）³-3αβ（α+β）=p³-3pq，
α³β³=（αβ）³=q³，
∴以α³、β³为根的一元二次方程为x²-（p³-3pq）x+q³=0；

②由题意，得

p3-3pq=p q3=q

，
由q³=q，得q=0，q=±1，
当q=0时，p³=p，p=0，±1；
当q=1时，p³=4p，p=0，±2；
当q=-1时，p³=-2p，p=0．
∵当p=0，q=1时，方程x²+1=0无实根，
∴满足条件的方程有x²=0；x²-x=0；x²+x=0；x²-2x+1=0；x²+2x+1=0；x²-1=0．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，立方和公式，积的乘方的运算性质，高次方程的解法．其中立方和公式，解高次方程属于竞赛题型，有一定难度．