题目内容
已知,,是的平分线,点在上,.将三角板的直角顶点放置在点处,绕着点旋转,三角板的一条直角边与射线交于点,另一条直角边与直线、直线分别交于点、点.
(1)如图,当点在射线上时,
①求证: ;
②设,,求与的函数解析式并写出函数的定义域;
(2)连结,当△与△似时,求的长.
(1)如图,当点在射线上时,
①求证: ;
②设,,求与的函数解析式并写出函数的定义域;
(2)连结,当△与△似时,求的长.
(1)①证明见解析②(2)
(1)
证明:①过点作,,垂足分别为、.
∵是的平分线,
∴.
由,得.
∴.
∵,
∴.
∴△≌△. (3分)
∴.
解:②∵,
∴.
∵△≌△,
∴.
∴. (2分)
∵∥,
∴.
∴. (2分)
∴ (2分)
解:(2)当△与△相似时,点的位置有两种情况:
①当点在射线上时,
∵,,
∴.
∴.
∴.
在Rt△中,. (2分)
②当点在延长线上时,
∵,,
∴.
∵,,
∴.
易证,可得.
∴.
∴.
易证△≌△,
可得.
∵∥,
∴.
∴.
∴. (2分)
(1)①过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N,有已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE;②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式,再写出其自变量的取值范围即可;
(2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况:①当点F在射线CA上时,②当点F在AC延长线上时,分别讨论求出满足题意的EG长即可.
证明:①过点作,,垂足分别为、.
∵是的平分线,
∴.
由,得.
∴.
∵,
∴.
∴△≌△. (3分)
∴.
解:②∵,
∴.
∵△≌△,
∴.
∴. (2分)
∵∥,
∴.
∴. (2分)
∴ (2分)
解:(2)当△与△相似时,点的位置有两种情况:
①当点在射线上时,
∵,,
∴.
∴.
∴.
在Rt△中,. (2分)
②当点在延长线上时,
∵,,
∴.
∵,,
∴.
易证,可得.
∴.
∴.
易证△≌△,
可得.
∵∥,
∴.
∴.
∴. (2分)
(1)①过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N,有已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE;②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式,再写出其自变量的取值范围即可;
(2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况:①当点F在射线CA上时,②当点F在AC延长线上时,分别讨论求出满足题意的EG长即可.
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