Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=a,AD=b,点P是对角线BD上的一个动点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交射线BC于点Q，

（1）当AP⊥BD时，求△ABQ的面积（用含a、b的代数式表示）.

（2）若点M为AD边的中点，连接MP交BC于点N，证明：点N也为线段BQ的中点.

（3）如图，当为何值时，△ADP与△BPQ的面积之和最小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）由矩形性质，得到∠BAD=∠ABC=90°，由AP⊥BD，即可得到∠BAQ=∠ADB，则△ABQ∽△DAB，可得，可求出BQ，然后求出面积；

（2）由AD∥BC，得到△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP，然后得到，由AM=DM，即可得到NQ=BN；

（3）过点P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F，设PE=h，则PF=a-h，根据对应线段成比例，求出BQ的值；然后根据面积之和，得到关于h的一元二次方程，利用根的判别式，求出面积的取值范围，当面积最小时，求出h的值，然后得到的值.

（1）解：如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=a，BC=AD=b，∠BAD=∠ABC=90°，

∵AP⊥BD，

∴∠BAQ+∠QAD=90°， ∠QAD+∠ADB=90°，

∴∠BAQ =∠ADB，

∴△ABQ∽△DAB，

∴，

∴，

∴S△ABQ=；

(2) ∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP，

∴，

∴，

∵点M是AD的中点，

∴AM=DM，

∴NQ=BN，

即点N是BQ的中点；

（3）如图，过点P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F，

设PE=h，则PF=a-h，

∵AD∥BC，

∴，

∵AD=b，

∴BQ=.

设△ADP和△BPQ的面积之和为S，则

=

=

=，

∴，

即：；

∵关于h的方程，有实数根，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴S的最小值为：，

当时，代入方程，

解得：；

∵AD∥BC，

∴，

∴当时，△ADP和△BPQ的面积之和最小.