题目内容
【题目】如图1所示，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴的负半轴、正半轴上，且AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB于点D．
（1）求证：BD＝3AD；
（2）如图2，点E在OD的延长线上，连接BE，在线段BE上取点F，连接CF分别交OE、AB于点G、H（点G、H、D互不重合），若FE＝FG，求证：∠EBA﹣∠BCF的度数为定值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，若C（4
，0），A（0，4），求S△ECG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S△EGC＝12
.
【解析】
（1）根据直角三角形中的正余弦定理，可得到BD与AD的长度关系.（2）根据三角形的内角和公式，可得∠EBA﹣∠BCF＝30°.（3）以B为圆心，BO长为半径画弧交ED于点M，连接BM，过点C作EO的垂线，交EO的延长线于点N，再根据全等三角形性质，可得S△EGC.
解：（1）∵AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB
∴∠ABC＝30°，∠ODB＝90°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝30°，
∴AD＝
OA，OA＝AB
∴OA＝2AD，AB＝2AO，
∴AB＝4AD，
∴BD＝3AD．
（2）∵FE＝FG，
∴设∠E＝∠EGF＝α，
∴∠OGC＝α，
∵∠DOB＝60°，
∴∠BCF＝60﹣α，
∵∠EDB＝90°，
∴∠EBA＝90°﹣α，
∴∠EBA﹣∠BCF＝30°，
∴∠EBA﹣∠BCF的度数为定值．
（3）如图1所示，以B为圆心，BO长为半径画弧交ED于点M，连接BM，过点C作EO的垂线，交EO的延长线于点N，
∴BM＝OC，∠EMB＝∠GOC＝120°，
∵∠BEM＝∠OGC，
∴△EMB≌△GOC（AAS），
∴EM＝OG，
∴EG＝MO＝BO＝4
，
∵∠CON＝60°，∠N＝90°，
∴∠OCN＝30°，
∴ON＝
OC＝2，
∴CN＝6，
∴S△EGC＝EGCN＝4×6×＝12．
