Question

如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过D，C作DE∥OC，CE∥OD．
（1）图中有若干对相似三角形，请至少写出三对相似（不全等的）三角形，并选择其中一对加以证明；
（2）求证：DM=

1

2

OB．

Answer 1

分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得OB=OD，OA=OC，又由CE∥OD，可得OM=

1

2

CE，又由四边形DOCE为平行四边形，即可证得DM=

1

2

OB．

解答：（1）解：相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABM∽△NDM，
∵CE∥OD，
∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，
∴△ABM∽△NDM∽△NCE，
∵DE∥OC，
∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA，
∴△AOM∽△ACE∽△EDM；
∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵CE∥OD，
∴AM=ME，
∴OM=

1

2

CE，
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∴CE=OD，
∴OM=

1

2

OD=

1

2

OB．

点评：此题考查了相似三角形的判定与平行四边形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似性质的应用．