Question

【题目】△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．

（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，延长PE，QB交于点F，

∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，

∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，

∴点P，O，Q在同一条直线上，

∵∠APO=∠BQO=90°，

∴AP∥BQ，

∴∠PAE=∠FBE，

∵点E是AB中点，

∴AE=BE，

∵∠AEP=∠BEF，

∴△APE≌△BFE，

∴PE=EF，

∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，

∴EP=EQ；

（2）

解：成立，

证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，

∴CE∥OB，CE= OB，

∴∠DOC=∠ECA，

∵点D是Rt△OQB斜边中点，

∴DQ= OB，

∴CE=DQ，

同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，

∴∠ECA=∠BDE，

∵∠PCE=∠EDQ，

∴△EPC≌△QED，

∴EP=EQ；

（3）

解：如图2，连接GO，

∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，

∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，

∴GB=GO=GA，

∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，

设∠GOB=x，∠GOA=y，

∴x+x+y+y+60°=360°

∴x+y=150°，

∴∠AOB=150°．

【解析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．