Question

如图：二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于A（-

1

2

，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状；
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，点C关于抛物线对称轴的对称点符合点D的要求，由此可求出点D的坐标；
（3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

解答：解：（1）由题意得：

- 1 4 - a 2 +b=0 -4+2a+b=0

，
解得

a= 3 2 b=1

；
∴抛物线的解析式为y=-x²+

3

2

x+1；
∴C（0，1）；
∴AC²=

1

4

+1=

5

4

，BC²=1+4=5，AB²=（2+

1

2

）²=

25

4

；
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=

3

4

；
根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（

3

2

，1）；

（3）存在，点P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+1；
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-

1

2

x+h，
则有：（-

1

2

）×（-

1

2

）+h=0，h=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

；
联立抛物线的解析式有：

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，
解得

x=- 1 2 y=0

，

x= 5 2 y=- 3 2

；
∴点P（

5

2

，-

3

2

）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（-

5

2

，-9）；
故当P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

点评：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，难度适中．