Question

（2007•中山区二模）如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点在x轴上且B在A点右侧，过点A和B做x轴垂线，分别交二次函数y=x²的图象与C、D两点，直线OC交BD于M．
（1）若A点坐标为（1，0），B点坐标为（2，0），求证：S_△CMD：S_{四边形ABMC}=2：3
（2）将A、B两点坐标改为A（t，0），B（2t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）中结论是否成立？请验证．
附加题：将y=x²改为y=ax²（a＞0），其他条件不变，（1）中结论是否成立？请验证．

Answer 1

分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）及附加题的解法同（1）完全一样．

解答：（1）∵A点坐标为A（1，0）B（2，0）
∴C点坐标为（1，1），D（2，4）
设直线OC解析式为y=kx过点C（1，1）
∴k=1y=x
∴M坐标为（2，2）
∴S_△CMD=1，S ABMC=

3

2

∴S_△CMD：S_ABMC=2：3；

（2）结论仍然成立，∵A点坐标A（1，0），B为（2，0）
∴C（1，a），D（2，4a）
设直线OC解析式为y=kx过点C（1，a）
∴k=a∴y=ax
点M在直线OC上，当x=2y时，y=2a
∴M（2，2a）
S_△OMD：S_ABNC=[

1

2

×(4a-2a)]：[

1

2

(a+2a)×2a]=2：3
结论成立

附加题：
∵A（t，0）B（2t，0）
∴C坐标为C（t，at²+bt），D（2t，4at²+2bt）
直线OC解析式为y=（at+b）x
M在直线OC上，∴M（2t，2at²+2bt）
∴S_△OMD：S_ABMC=2：3

点评：本题主要考查了二次函数的综合及图形面积的求法、函数图象的交点等知识点，本题是一题多变题，在中考中经常出现．