Question

【题目】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为4cm2？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1s后；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（5﹣x）cm，CQ＝2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（5﹣x），令该式＝4，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；

（2）求出△ABC的面积进而利用b2﹣4ac的符号得出即可．

解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为4cm2．

由题意得，AP＝xcm，PC＝（5﹣x）cm，CQ＝2xcm，

则（5﹣x）2x＝4，

整理，得x2﹣5x+4＝0，

解得x1＝1，x2＝4（舍去）．

所以P、Q同时出发，1s后可使△PCQ的面积为4cm2；

（2）∵S△ABC＝×5×7＝，

∴当△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，即S△PCQ＝，

故（5﹣x）2x＝，

整理得：4x2﹣20x+35＝0，

b2﹣4ac＝400﹣4×4×35＝﹣160＜0，

故此方程无解，则△PCQ的面积不可能等于△ABC的面积的一半．