Question

已知：点D是△ABC的边BC的中点，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角边”证明△AED和△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应角相等即可证明．

解答：证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，

∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD=90° AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=EF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用，本题难点在于要进行二次三角形全等的证明．